给定多面体~$P\subseteq \mathbb{R}^n$, 多项式环~$\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ 中的元素相对于 多面体~$P$ 被分为了三类: 严格正的, 非负且带有零点的和不是非负的多项式. 本文的主要工作是从多面体的~$\mathcal{V}$-表示出发证明了多项式在多面体上的非负 性问题等价于齐次多项式在标准单形上的非负性问题. 根据这一结果, 使用~P\'olya 定理及一些新的研究结果获得完全地判定三类多项式的算法.